以前目にして、ご他聞に漏れず私も混乱し、やがて納得した。
そのまま放置していたがやっぱり書く。
・問題(オリジナルのものではない)
こういうゲームがある。
A,B,Cと書かれた3つの箱があり、どれかに当たりが入っている。
あなたはAを選択した。
正解を知り悪意のない主催者はB,CのうちBを開け、それが空であることを示した。
さてここでもう一度選択できるとしたら、Cに変えるべきか、Aのままでいるべきか。
・模範解答
初めは3つある内の1つだから、どれも3分の1の確率だった。
もう一度選択できるが、2つあるうちの1つだから、どちらも2分の1の確率だろう。
ゆえに、変えない。(または、別に変えてもいいが2分の1だろう。)
で、これが間違いだという。
・期待値を考える(当たりを1、外れを0とする)
Aを選んだとき、Aが当たりの確率は1/3、外れの確率は2/3。
Aが当たりで、交換する(外れ): 1/3×0=0
Aが外れで、交換する(当たり): 2/3×1=2/3
→交換するとき: 0+2/3=2/3
交換しないときはこの余事象なので、1/3。
(Aが当たりで、交換しない(当たり): 1/3×1=1/3
Aが外れで、交換しない(外れ): 2/3×0=0
→交換しないとき: 1/3+0=1/3)
→交換した方が当たりを期待できる。
・代替案
で、これくらいの計算なら、数学が苦手でなければ時間をかけたら出来そう。
だが、面倒臭く、時間もなく、直感的な判断を下しがち。
直感的でもプロセスが正しく省略されていれば問題はないが、
しばしば直感的な判断は誤りを招く。
何が間違いか。「Aの箱が当たりである確率」が変わると考えること。
とりあえずシンプルな考え方。
向かって左からA,B,Cと箱があるとして、Aを選択。
AとBの間に線を引く。箱全部を1つの丸で囲む。
線の左に当たりがある確率は1/3。
線の右に当たりがある確率は2/3。丸内に当たりがある確率は1。
この確率は、当たりの中身を移動させない限り変わらない。箱を開けても確率は変わらない。
数を増やしてイメージするのも良い。
100個の箱があって。あるいは千の箱が。千の箱があって。
主催者が、Aともう1つになるまで箱を開ける。さて、交換するかしないか。
確率が変化するとか、どの時点で固定されるとか、そういうのは考えなくてよろしい。
というか基本的に滅多な事では「変化」しません。
あなたは時間とともに進んでいるが、確率は最初に考えた状況のもの。
そもそも何の確率か。
あなたが当てる確率じゃない。当たりが箱に存在する確率。
確率とは、事象が起こる確からしさであって、全部で可能性がいくつある内の、どの程度なのかを示したもの。
面積の割合。ダーツの的を考えるといい。
期待値は、ダーツの的の区分それぞれに書かれた商品の価値や、土砂に一定割合で含まれる砂金の価値などをイメージするといい。
2択になったとき、確かに当てる確率(≠存在する確率)は1/2になる。
しかし、そこまでの可能性(どこに当たりが在るか)がそれぞれ異なる。
(そこまでの可能性=多くの場合選んだ箱は外れ、を踏まえる)
例えば、今からサイコロを振って10連続で6が出る確率と、9連続で6が出た後、今から6が出る確率は違う。
そしてモンティ・ホールの問題は、何連続で何が出たか知らされない状態で、出目が10並んだカード(6の10乗枚あることになるが)を6枚選べるとして、「66666 66666」のカードを「選ぶ」か「選ばない」か、のようなもの。
サイコロ2つでやってみよう。
1投目、出た目は知らされません。
2投目、今度は出た目が知らされますが、2投目の前に出目を予想してもらいます。
11〜66まで36枚のカードがあり、その中から6枚選べます。
2投目のサイコロの出目は6種類なので、6枚選べるのなら問題ない、と考える人はいないでしょう?
問題改変。
主催者がJ,Q,Kのカードを見せてから、3枚をシャッフルする。
裏向きに並べて、どこにKがあるか当ててみなさいという。あなたは左端を選択。
ところが主催者、花粉症なのか、急にくしゃみをする。
主催者は気づかなかったが、そのくしゃみで真ん中の一枚がめくれ、Jが見えた。
本当にそれでいいですかとの問いに、あなたならどうするか。
→右端に変えたほうが、確率は高い。
では、あなたが選択する前にJが見えてしまったら?
1/3がない以上、2/3がない。どちらも1/2。
選んでいたら2/3になった確率が、選んでいなかったら1/2になるのか?
これも直感に反するが、なる。
どちらのカードが2/3で、どちらが1/3かと決まっているわけではない。どちらが2/3でもよい。
3択の時点で選んだものより、2択になって選んだもののほうが当たる確率が高い。
では、この問題の途中に出くわしたら?
ちょうど外れの箱やJが見えたときに出くわした。あなたはどれを選ぶべきか。
選んでいなければどちらでも良い。ただし、あなたの友人がその場面で悩んでいたら、初めに友人が選択しなかった方を選ぶべき。
早めに選んでおくほうが得になるなんて、妙な話。
この問題から学ぶこと。
・数学に苦手意識を持つ人や、そうでない人でも、急に数学的なことを言われたら対応できないし、言われたら正しいような気もする。とりあえず、怪しいと疑ってみること。
・厳密に問題を解釈し考えること。
・↑から得られた結果や手法などで、「正しく省略された」思考プロセスを使うこと。
・状況が何で問題は何なのか、正しく把握すること。
・とりあえず仮にでも早めに選んでおくこと。
・冗長な文章はなるべく避けること。