日々感じたことや考えたことを公開していきますが基本的には覚書。
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【2012.12.16 Sunday 】 author : スポンサードリンク
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モンティ・ホール問題
以前目にして、ご他聞に漏れず私も混乱し、やがて納得した。
そのまま放置していたがやっぱり書く。


・問題(オリジナルのものではない)
 こういうゲームがある。
 A,B,Cと書かれた3つの箱があり、どれかに当たりが入っている。
 あなたはAを選択した。
 正解を知り悪意のない主催者はB,CのうちBを開け、それが空であることを示した。
 さてここでもう一度選択できるとしたら、Cに変えるべきか、Aのままでいるべきか。

・模範解答
 初めは3つある内の1つだから、どれも3分の1の確率だった。
 もう一度選択できるが、2つあるうちの1つだから、どちらも2分の1の確率だろう。
 ゆえに、変えない。(または、別に変えてもいいが2分の1だろう。)


で、これが間違いだという。


・期待値を考える(当たりを1、外れを0とする)
Aを選んだとき、Aが当たりの確率は1/3、外れの確率は2/3。

Aが当たりで、交換する(外れ): 1/3×0=0
Aが外れで、交換する(当たり): 2/3×1=2/3
→交換するとき: 0+2/3=2/3

交換しないときはこの余事象なので、1/3。
(Aが当たりで、交換しない(当たり): 1/3×1=1/3
 Aが外れで、交換しない(外れ): 2/3×0=0
 →交換しないとき: 1/3+0=1/3)

→交換した方が当たりを期待できる。


・代替案
で、これくらいの計算なら、数学が苦手でなければ時間をかけたら出来そう。
だが、面倒臭く、時間もなく、直感的な判断を下しがち。
直感的でもプロセスが正しく省略されていれば問題はないが、
しばしば直感的な判断は誤りを招く。

何が間違いか。「Aの箱が当たりである確率」が変わると考えること。

とりあえずシンプルな考え方。
向かって左からA,B,Cと箱があるとして、Aを選択。
AとBの間に線を引く。箱全部を1つの丸で囲む。
線の左に当たりがある確率は1/3。
線の右に当たりがある確率は2/3。丸内に当たりがある確率は1。
この確率は、当たりの中身を移動させない限り変わらない。箱を開けても確率は変わらない。

数を増やしてイメージするのも良い。
100個の箱があって。あるいは千の箱が。千の箱があって。
主催者が、Aともう1つになるまで箱を開ける。さて、交換するかしないか。

確率が変化するとか、どの時点で固定されるとか、そういうのは考えなくてよろしい。
というか基本的に滅多な事では「変化」しません。
あなたは時間とともに進んでいるが、確率は最初に考えた状況のもの。

そもそも何の確率か。
あなたが当てる確率じゃない。当たりが箱に存在する確率。
確率とは、事象が起こる確からしさであって、全部で可能性がいくつある内の、どの程度なのかを示したもの。
面積の割合。ダーツの的を考えるといい。
期待値は、ダーツの的の区分それぞれに書かれた商品の価値や、土砂に一定割合で含まれる砂金の価値などをイメージするといい。

2択になったとき、確かに当てる確率(≠存在する確率)は1/2になる。
しかし、そこまでの可能性(どこに当たりが在るか)がそれぞれ異なる。
(そこまでの可能性=多くの場合選んだ箱は外れ、を踏まえる)

例えば、今からサイコロを振って10連続で6が出る確率と、9連続で6が出た後、今から6が出る確率は違う。
そしてモンティ・ホールの問題は、何連続で何が出たか知らされない状態で、出目が10並んだカード(6の10乗枚あることになるが)を6枚選べるとして、「66666 66666」のカードを「選ぶ」か「選ばない」か、のようなもの。
サイコロ2つでやってみよう。
1投目、出た目は知らされません。
2投目、今度は出た目が知らされますが、2投目の前に出目を予想してもらいます。
11〜66まで36枚のカードがあり、その中から6枚選べます。
2投目のサイコロの出目は6種類なので、6枚選べるのなら問題ない、と考える人はいないでしょう?


問題改変。
主催者がJ,Q,Kのカードを見せてから、3枚をシャッフルする。
裏向きに並べて、どこにKがあるか当ててみなさいという。あなたは左端を選択。
ところが主催者、花粉症なのか、急にくしゃみをする。
主催者は気づかなかったが、そのくしゃみで真ん中の一枚がめくれ、Jが見えた。
本当にそれでいいですかとの問いに、あなたならどうするか。

→右端に変えたほうが、確率は高い。


では、あなたが選択する前にJが見えてしまったら?
1/3がない以上、2/3がない。どちらも1/2。
選んでいたら2/3になった確率が、選んでいなかったら1/2になるのか?

これも直感に反するが、なる。
どちらのカードが2/3で、どちらが1/3かと決まっているわけではない。どちらが2/3でもよい。
3択の時点で選んだものより、2択になって選んだもののほうが当たる確率が高い。

では、この問題の途中に出くわしたら?
ちょうど外れの箱やJが見えたときに出くわした。あなたはどれを選ぶべきか。

選んでいなければどちらでも良い。ただし、あなたの友人がその場面で悩んでいたら、初めに友人が選択しなかった方を選ぶべき。


早めに選んでおくほうが得になるなんて、妙な話。


この問題から学ぶこと。

・数学に苦手意識を持つ人や、そうでない人でも、急に数学的なことを言われたら対応できないし、言われたら正しいような気もする。とりあえず、怪しいと疑ってみること。
・厳密に問題を解釈し考えること。
・↑から得られた結果や手法などで、「正しく省略された」思考プロセスを使うこと。
・状況が何で問題は何なのか、正しく把握すること。
・とりあえず仮にでも早めに選んでおくこと。
・冗長な文章はなるべく避けること。
【2008.03.16 Sunday 22:41】 author : サンスベリア
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【2012.12.16 Sunday 22:41】 author : スポンサードリンク
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